русский и советский композитор, хоровой дирижёр, хормейстер, педагог. Народный артист СССР (1937). Доктор искусствоведения (1940). Лауреат двух Сталинских премий I-й степени (1942, 1946). Генерал-майор (1943). Автор музыки Гимна СССР и положенного на ту же мелодию Гимна Российской Федерации.
Родился в селе Плахино Михайловского уезда Рязанской губернии в крестьянской семье. В 1890—1892 годах учился в земской школе, пел в школьном хоре.
В 1891 году переехал в Санкт-Петербург; пел в хоре Казанского собора. В 1898 году окончил курс пения Казанской певческой церковно-приходской школы Санкт-Петербурга.
С 1897 года — ученик регентских (дирижёрских) классов Придворной певческой капеллы (ныне Хоровое училище имени М. И. Глинки), по окончании которых в 1900 году получил звание регента. Через некоторое время поступил в Санкт-Петербургскую консерваторию (класс композиции А. К. Глазунова и А. К. Лядова), однако в 1902 году, вследствие болезни и тяжёлого материального положения был вынужден прервать учёбу и уехать в Бологое, где работал регентом соборного хора, а также педагогом по хоровому искусству в железнодорожном техническом училище.
С 1906 года — в Твери, работал регентом архиерейского хора Спасо-Преображенского собора, вёл хоры в ряде учебных заведений, в частности — в Тверской духовной семинарии, ректором которой в то время был архимандрит Вениамин Федченков. Написал в это время симфонию и симфоническую поэму «Смерть и жизнь».
В 1909 году продолжил учёбу в Московской консерватории, которую окончил в 1913 году с большой серебряной медалью по классу композиции у С. Н. Василенко, а в 1916 году — по классу пения у У. Мазетти.
С 1913 года — снова в Твери, где с оркестром, солистами и хором осуществил постановку оперы «Пиковая дама» (1913), исполнил фрагменты из опер «Евгений Онегин» (1914) (обе П. И. Чайковского), «Фауст» Ш. Ф. Гуно, «Жизнь за царя» М. И. Глинки и «Русалка» А. С. Даргомыжского. В этих постановках был и режиссёром, и дирижёром, и хормейстером, а иногда и певцом. В одном из домашних музыкальных спектаклей спел партию Ленского («Евгений Онегин»), в «Пиковой даме» исполнил партию Чекалинского. В Твери в 1915 году организовал и возглавил музыкальную школу, которая, однако, была закрыта в 1918 году в связи с отъездом Александрова в Москву.
В 1918—1922 годах — регент Храма Христа Спасителя. В 1919—1930 годах — преподаватель композиции и хорового пения Музыкального техникума имени А. Н. Скрябина (ныне Академическое музыкальное училище при Московской консерватории), одновременно, с 1919 — помощник руководителя 2-й группы Первого государственного хора, в 1921—1923 (в 1926—1930 — дирижёр) — Государственной хоровой капеллы (ныне Государственная академическая хоровая капелла России имени А. А. Юрлова), хормейстер Камерного театра (1922—1928), консультант Государственного оперного театра имени народного артиста Республики К. С. Станиславского и Музыкального театра имени народного артиста Республики В. И. Немировича-Данченко (ныне Московский академический музыкальный театр имени К. С. Станиславского и Вл. И. Немировича-Данченко) (1928—1930) (все в Москве).
С 1918 года — преподаватель (сольфеджио, полифония, дирижёрское и хоровое мастерство), в 1926—1929 — вёл хоровой класс на инструкторско-педагогическом факультете, в 1932—1934 — заведующий хоровой кафедрой, с 1940 — декан дирижёрско-хорового факультета, с 1942 — декан объединённого дирижёрско-хорового и музыкально-педагогического факультетов Московской консерватории (с 1922 года — профессор). Среди его многочисленных учеников — К. Б. Птица, В. Г. Соколов, Д. Б. Кабалевский, К. П. Кондрашин и др.
Инициатор (совместно с В. М. Блажевичем) создания в 1928 году военно-капельмейстерского класса, ставшего основой военного факультета Московской консерватории (1935, c 2006 — Военный институт (военных дирижёров) Военного университета Министерства обороны РФ), в 1929—1936 годах — заместитель декана военного факультета.
С 1928 года — организатор (совместно с Ф. Н. Даниловичем и П. И. Ильиным) и музыкальный руководитель, с 1937 года — начальник, художественный руководитель и главный дирижёр Ансамбля красноармейской песни Центрального дома Красной Армии им. М. Фрунзе (ныне Ансамбль песни и пляски Российской армии имени А. В. Александрова), с которым объехал весь Советский Союз и ряд зарубежных стран (Чехословакия, Монголия, Финляндия, Польша, Франция, Канада, Китай и др.), завоевал в 1937 году «Гран-при» на Всемирной выставке в Париже.
Одновременно, с 1936 года — художественный руководитель Ансамбля песни и пляски ЦДКЖ, с 1937 — инициатор создания и художественный руководитель Ансамбля песни и танца Московского городского дворца пионеров и октябрят (ныне Ансамбль песни и пляски имени В. С. Локтева).
Во время войны создал известные песни «Священная война» (июнь 1941 г.), «В поход! В поход!», «Несокрушимая и легендарная» и др.
В 1943 году на основе своего «Гимна партии большевиков» создал величественную мелодию, которая с 1944 года официально стала гимном СССР. Слова были написаны Г. А. Эль-Регистаном и С. В. Михалковым, частично отредактированы самим И. В. Сталиным. С 2000 года мелодия лежит в основе Гимна России.
Скончался от инфаркта 8 июля 1946 года на 64-м году жизни в Берлине, во время европейского турне Краснознамённого ансамбля. 9 июля тело композитора было доставлено в Москву и с 19 часов был открыт доступ к гробу с телом для прощания в Краснознамённом зале Центрального Дома Красной Армии. Похоронен 10 июля на Новодевичьем кладбище (участок № 3).
