Юрий Завадский родился 30 июня 1894 года в Москве в дворянской семье чиновника Александра Францевича и несостоявшейся актрисы Евгении Иосифовны (в девичестве Михайловой). Многие члены семьи были связаны с искусством. Деда по отцовской линии — художника-живописца, наполовину поляка — сослали в Сибирь за участие в польском восстании 1863 года; дядя был пианистом и композитором, а самого отца благодаря выдающемуся голосу звали в солисты Большого театра, но он отказался. Дед по матери был крестьянином, специалистом по кружевам, переехавшим в Москву и женившимся на балерине. Обе тёти профессионально занимались музыкой; позднее мать вместе с сестрой Анной организовала популярный в среде интеллигенции любительский драмкружок, в котором, среди прочих, играл молодой Евгений Вахтангов.
В 1913 году по окончании Медведниковской гимназии Юрий поступил на юридический факультет Московского университета, который оставил в 1917 году не доучившись. Одновременно брал уроки в школе рисования и живописи Станислава Жуковского, а затем — в школе Петра Келина.
В 1915 году многолетний друг Завадского Павел Антокольский позвал его в студию Евгения Вахтангова (с 1920 года известную как 3-я студия МХАТ), где он работал до 1919 года: вначале художником, затем — актёром и режиссёром. В 1918 году Антокольский познакомил его с Мариной Цветаевой, безответно влюбившейся в него; к нему был обращён её цикл стихов «Комедьянт» и пьесы «Каменный ангел» и «Фортуна».
В 1920—1924 годах Завадский был актёром и режиссёром 3-й студии МХАТ, где сыграл Антония в спектакле «Чудо святого Антония» (1921) по пьесе Мориса Метерлинка, в котором выступил и как сценограф, и Калафа в «Принцессе Турандот» Карло Гоцци (1922). Как режиссёр дебютировал в 1924 году спектаклем «Женитьба». С 1922 года был членом художественного совета, избранного актёрами после смерти Вахтангова.
В 1924—1931 годах был актёром МХАТа (по словам Виталия Вульфа, числился актёром до 1936 года), где, в частности, сыграл Чацкого в «Горе от ума» и графа Альмавиву в «Безумном дне, или Женитьбе Фигаро».
В том же 1924 году создал собственную театральную студию, актёрами которой были его ученики Вера Марецкая, Ростислав Плятт, Николай Мордвинов, Павел Массальский и другие, руководил ею до 1936 года. Театр не имел здания и давал эксперимертальные представления в подвальных помещениях московских зданий.
По свидетельству ряда коллег, в 1920-е годы (по словам сына — в 1930 году) Завадский занимался в кружке антропософов, за что был арестован и месяц провёл в одиночке (по словам Виталия Вульфа — всего два дня); освободился только благодаря заступничеству Константина Станиславского.
В 1932—1935 годах возглавлял Центральный театр Красной Армии.
В 1936 году в ходе кампании по упразднению «чересчур ярких, неортодоксальных театров» и «переброске» их в другие города Завадский и его труппа были направлены в Ростов-на-Дону, где режиссёр возглавил Академический театр драмы имени М. Горького, который размещался в новом здании, построенном годом ранее.
В 1940 году вернулся в Москву и был назначен главным режиссёром Театра имени Моссовета и занимал этот пост до конца жизни. Среди наиболее значительных постановок — «Нашествие» Леонида Леонова (1943), «Петербургские сновидения» по роману Достоевского «Преступление и наказание» (1969), «Маскарад» Лермонтова (1-я редакция — в 1952 году, 2-я — в 1964).
Был известен своим новаторством: например, перед спектаклем «Виндзорские насмешницы» (1957) людей на входе встречали трубачи, а во время сцены ярмарки по зрительному залу расхаживали цыганки и фокусники. Организовывал спектакли-концерты, посвящённые выдающимся людям, в которых участвовала вся театральная труппа.
С 1940 года преподавал в ГИТИС, в 1947 году получил звание профессора. Член ВКП(б) с 1944 года.
Завадский не шёл на конфликт с актёрами и коллегами; напротив, он нередко использовал всё своё влияние для помощи тем, кто находился в опале. Единственной, с кем у него были натянутые отношения, являлась Фаина Раневская; в определённый момент она нахамила Завадскому и покинула театр. Но когда в 1963 году Раневская осталась без работы, Завадский сразу же позвал её обратно. Известен афоризм Раневской, посвящённый режиссёру: «Он родился не в рубашке, а в шубе».
Андрей Тарковский в 1972 году говорил, что: «При всех актёрских неровностях всё-таки лучшее, что я видел в театре за последнее время, — это „Петербургские сновидения“ у Завадского. Это эмоциональный спектакль, а мы забыли, что такое настоящее эмоциональное воздействие в искусстве».
На протяжении почти пятидесяти лет ведущей актрисой театров, возглавляемых им, оставалась его вторая жена Вера Петровна Марецкая, которую он не позволял критиковать и к мнению которой всячески прислушивался, за что её прозвали «хозяйка Театра имени Моссовета».
Был автором ряда статей и книг. О Завадском сняты телевизионные фильмы «Дома у Ю. А. Завадского», «Юрий Завадский — любимый и любящий». В 1971 году был снят документальный фильм «Юрий Завадский» (режиссёр Марина Голдовская).
Юрий Александрович Завадский скончался 5 апреля 1977 года в Москве на 83-м году жизни. Его предсмертным желанием было, чтобы никто не видел его мёртвым, поэтому в театре стояла урна с его прахом.
Похоронен 8 апреля 1977 года на Ваганьковском кладбище рядом с матерью (15 участок).
